Можно ли взыскать затраты на операцию (лечение) ребенку с отца?

Да, можно. Статьей 185 Семейного кодекса Украины предусмотрена обязанность второго из родителей участвовать в дополнительных затратах на ребенка. Такие затраты могут быть вызваны особыми обстоятельствами (развитием способностей ребенка, его болезнью, увечьем и т.п.). Как правило это тот с родителей который проживает отдельно от ребенка.

Размер взыскиваемых дополнительных издержек устанавливается судом в каждом конкретном случае с учетом обстоятельств которые имеют существенное значение. Суммы дополнительных затрат на ребенка могут финансироваться заранее или покрываться после их фактического понесения разово, периодически или постоянно.

Началом процедуры взыскания дополнительных затрат на ребенка начинается с подачи искового заявления в суд. При этом обязательно матери (опекуну ребенка) необходимо в дополнениях предоставить доказательства, которые подтверждают исковые требования. Такими документами являются например договора на предоставления услуг, квитанции, выписки на оплату таких услуг (медицинских).
Если такие документы не могут быть получены самостоятельно истцом, необходимо их истребовать через суд. Для этого необходимо подать заявление об истребовании доказательств. Стоит помнить, что доказательства может истребовать и ответчик. Это происходит обычно тогда когда он не согласен с размером взыскиваемых затрат.

Следует заметить, что подавая иск на дополнительные расходы на ребенка, Истец в любом случае должен их обосновать, то есть предоставить неопровержимые доказательства в их подтверждение.

Данные дополнительные расходы должны быть вызваны именно особыми обстоятельствами. Дополнительные расходы заявляются в связи с хроническими или разовыми проблемами со здоровьем ребенка, расходы, связанные с развитием способностей ребенка.
Заявляя разовые расходы - необходимо предоставить доказательства  суммы расходов, просить взыскать половину.

Заявляя же периодические или постоянные затраты, истец должен доказать их необходимость (например дать рекомендации по обучению ребенка в школе искусств, представить несколько скульптур, подтвердить расходы на приобретение всех необходимых орудий, и периодичность их приобретения). Требуемая сумма, должна быть половиной расходов, которую необходимо взыскать на развитие способностей ребенка.